Zahlensysteme – Das Binärsystem

In der Informatik spielen Zahlensysteme eine große Rolle. Darunter versteht man bestimmte Darstellungsweisen von Zahlen. Vielleicht kennst du bereits das Binärsystem, bei dem Zahlen nur mit Nullen und Einsen dargestellt werden. Auf dieses System möchte ich in diesem Artikel etwas eingehen.

Das Dezimalsystem

Es ist wahrscheinlich hilfreich, zuerst das Dezimalsystem zu betrachten. Das Dezimalsystem ist das Zahlensystem, mit dem wir täglich umgehen. Zahlen wie 178 oder 5123901 sind Dezimalzahlen. Dezimalzahlen bestehen also aus den Ziffern 0 bis 9. Wenn wir eine solche geschriebene Zahl lesen, wissen wir sofort, welche Zahl gemeint ist. Wir wissen, dass 178 nicht für „Eins Sieben Acht„, sondern für „Hundertachtundsiebzig“ steht. Im Prinzip „rechnen“ wir folgendes: Eins mal Hundert + Sieben mal Zehn + Acht mal Eins. Wir multiplizieren jede Ziffer mit einer Zehnerpotenz und addieren dann alles auf.

Dezimalsystem Beispiel

Dieses Vorgehen wirkt vielleicht unnötig kompliziert, ist aber sehr wichtig, denn auf ähnliche Weise können auch Zahlen von anderen Zahlensystemen in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Das erkennt man am einfachsten am Binärsystem. Vorher möchte ich aber noch eine Notation einführen.

Zahlensysteme unterscheiden

Damit man weiß, welchem Zahlensystem eine Zahl angehört, kann man sie mit einer bestimmten Notation versehen. Es gibt unterschiedliche Notationen, ich nutze im Folgenden diese: Das Zahlensystem wird als kleingestellte Zahl hinten drangeschrieben. Die Dezimalzahl „Eins“ ist 110. Die binäre Variante wäre dann 12 und hexadezimal 116. Falls klar ist, um welches System es sich handelt, lasse ich die kleingestellte Zahl jedoch manchmal weg.

Das Binärsystem

Binärzahlen von 0 bis 15

Binärzahlen von 0 bis 15

Binärzahlen bestehen nur aus den Ziffern 0 und 1. Mit diesem Zahlensystem wird fast alles bei Computern gespeichert und gerechnet. Daten auf Computern sind nichts anderes, als Folgen von Nullen und Einsen. Das Prinzip hinter den Binärzahlen ist zum Glück recht einfach zu verstehen. Möchte man die nächstgrößere Binärzahl, rechnet man +1 drauf. Es gilt 02+12=12. Da es nur zwei Ziffern gibt, ist 12+12=102. Binärzahlen sind also zum Beispiel 110=12, 210=102, 310=112, 410=1002 und so weiter. Die Tabelle rechts zeigt das Prinzip aber wahrscheinlich besser, als es durch eine Erklärung möglich ist.

Umrechnung in Dezimalzahlen

Die Umrechnung von Binärzahlen in Dezimalzahlen funktioniert ähnlich, wie beim Dezimalsystem erklärt, wobei man hier jedoch mit größer werdenden Zweierpotenzen statt Zehnerpotenzen multipliziert. Die Zahl 10011011102 kann man so in die Dezimalzahl 62210 umwandeln. Das Vorgehen ist also: Die Ziffern werden mit Zweierpotenzen multipliziert und die Ergebnisse aufaddiert. Die Ziffer ganz rechts wird mit 20 multipliziert. Die nächste von rechts wird mit 21 multipliziert, die nächste mit 22 und so weiter.

Beispiel für die Umrechnung vom Binärsystem zum Dezimalsystem

Beispiel für die Umrechnung vom Binärsystem zum Dezimalsystem

Umrechnung in Binärzahlen

Beispiel für die Umrechnung vom Dezimalsystem zum Binärsystem

Beispiel für die Umrechnung vom Dezimalsystem zum Binärsystem

Zur Umrechnung einer Dezimalzahl zu einer Binärzahl verwendet man die Division mit Rest. Als Beispiel ist links wieder die Zahl 62210 (wobei ich hier der Übersicht halber auf die Notation mit der kleingeschriebenen Zahl verzichtet habe). Die Restbeträge von unten nach oben gelesen, ergeben das korrekte Ergebnis 10011011102.

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3 Antworten

  1. 24. Januar 2015

    […] sich 27=128 Kombinationsmöglichkeiten. Das große A ist zum Beispiel die Nummer 65, hat also den Binärcode […]

  2. 10. Februar 2015

    […] Bit vom niederwertigsten Bit (lsb = least significant bit). Meistens stehen solche Bitfolgen für Binärzahlen. Aus Platzgründen lohnt es sich auch, die hexadezimale Schreibweise zu nutzen: 1100010110102 = […]

  3. 12. März 2015

    […] zwingen, diese Tatsache zu ignorieren und den Wert trotzdem abzuspeichern. Falls die Zahl in ihrer Binärdarstellung mehr Bits benötigt, als der Datentyp zulässt, werden einige Bits abgeschnitten. Die Zahl 256 hat […]

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